Sistemi di disequazioni
Un sistema di disequazioni è un insieme di disequazioni che devono valere contemporaneamente. In questo sistema possiamo avere sia disequazioni di primo grado e sia disequazioni di secondo grado.
Per risolvere un sistema di questo tipo è sufficiente risolvere le disequazioni singolarmente per poi combinare le soluzioni in un unico grafico, in modo da verificare se esistono soluzioni in comune tra tutte le disequazioni.
Esempio 1
Risolvere il seguente sistema di disequazioni \( \left\{\begin{matrix} x+2<{4} \\ -2x+1>0 \end{matrix}\right. \)
Risolviamo singolarmente le due disequazioni $$ x+2<{4}\Rightarrow x<{4-2}\Rightarrow x<{2} $$ $$ x+2<{4}\Rightarrow x<{4-2}\Rightarrow x<{2} $$ $$ x+2<{4}\Rightarrow x<{4-2}\Rightarrow x<{2} $$ $$ -2x+1>0\Rightarrow -2x>-1\Rightarrow 2x<{1}\Rightarrow x<{\frac{1}{2}} $$ $$ -2x+1>0\Rightarrow -2x>-1\Rightarrow 2x<{1} $$ $$ \Downarrow $$ $$ x<{\frac{1}{2}} $$ $$ -2x+1>0\Rightarrow -2x>-1 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 2x<{1} $$ $$ \Downarrow $$ $$ x<{\frac{1}{2}} $$ Inseriamo in un unico grafico le soluzioni delle due disequazioni

Il sistema è verificato a sinistra di \(\frac{1}{2}\), cioè $$ x\in (-\infty,\frac{1}{2}) $$
Esempio 2
Risolvere il seguente sistema di disequazioni \( \left\{\begin{matrix} x^2+3x+2<{0} \\ x-2<{0} \\ x+1\geq 0 \end{matrix}\right. \)
Risolviamo singolarmente le due disequazioni. Calcoliamo il determinante e le soluzioni dell'equazione associata alla prima disequazione $$ \Delta=9-8=1 $$ $$ x_1=\frac{-3+1}{2}=-1 $$ $$ x_2=\frac{-3-1}{2}=-2 $$ Visto che il verso è di minore, la disequazione è verificata per valori interni, cioè $$ x\in (-2,-1) $$ Risolviamo adesso le altre due disequazioni di primo grado $$ x-2<{0}\Rightarrow x<{2} $$ $$ x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -1 $$ Inseriamo in un unico grafico le soluzioni delle tre disequazioni

Potete notare anche da voi che non esiste un intervallo dove sono verificate tutte e tre le disequazioni. Questo significa che il sistema non ha nessuna soluzione.
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