Equazioni con modulo
Che cos'è il modulo

Spesso, in fisica e matematica, ci si trova d'avanti a delle grandezze che non possono essere negative, ad esempio il tempo, la massa e così via.
Serve dunque uno strumento matematico che ci assicura la positività di una grandezza. Questo strumento prende il nome di modulo o valore assoluto, definito nel seguente modo $$ |x|=\left\{\begin{matrix} +x\hspace{3mm}se\hspace{3mm}x>0 \\ 0\hspace{3mm}se\hspace{3mm}x=0 \\ -x\hspace{3mm}se\hspace{3mm}x<{0} \end{matrix}\right. $$ In sostanza il modulo cambia di segno un valore se esso è negativo, altrimenti lo lascia invariato.
Equazioni con un modulo

Una equazione con un modulo è una equazione dove l'incognita compare anche in un modulo. Per capire come procedere in questo caso, è conveniente discutere un esempio concreto, per poi schematizzare il procedimento.
Esempio
Risolvere la seguente equazione con un modulo \( |x-2|=2x-5 \)
L'espressione \(x-2\) non sappiamo a priori se è positiva o negativa. Dalla definizione di modulo sappiamo che se la quantità è positiva rimane invariata, se è negativa bisogna cambiare di segno. Bisogna dunque studiare il segno dell'espressione che risiede all'interno del modulo, per capire dove è positiva e dove è negativa $$ x-2\geq 0\Rightarrow x\geq 2 $$ L'espressione è positiva per valori superiori a \(2\). Bisogna distinguere due casi, uno dove è positiva l'altro dove è negativa.
CASO 1 \(\rightarrow\) \(x\geq 2\): In questo caso possiamo togliere il modulo lasciando l'espressione invariata, dunque $$ x-2=2x-5 $$ Risolviamo l'equazione di primo grado $$ -2+5=2x-x\Rightarrow x=3 $$ $$ -2+5=2x-x\Rightarrow x=3 $$ $$ -2+5=2x-x $$ $$ \Downarrow $$ $$ x=3 $$ La soluzione è accettabile, in quanto rispetta la condizione \(x\geq 2\).
CASO 2 \(\rightarrow\) \(x< 2\): In questo caso possiamo togliere il modulo cambiando di segno l'espressione al suo interno, dunque $$ -x+2=2x-5 $$ Risolviamo l'equazione di primo grado $$ 2+5=2x+x\Rightarrow x=\frac{7}{3} $$ $$ 2+5=2x+x\Rightarrow x=\frac{7}{3} $$ $$ 2+5=2x+x\Rightarrow x=\frac{7}{3} $$ La soluzione non è accettabile, in quanto non rispetta la condizione \(x< 2\), infatti \(\frac{7}{3}\) è più grande di \(2\).
La soluzione dell'equazione è $$ x=3 $$
Da memorizzare!
Passi per risolvere una equazione con un modulo
  • Studiare il segno dell'argomento del modulo, ponendolo maggiore o uguale di zero;
  • Considerare i due casi. Uno dove l'argomento è positivo, l'altro dove è negativo;
  • Nel caso di argomento positivo bisogna risolvere l'equazione così com'è, togliendo il modulo;
  • Nel caso di argomento negativo bisogna risolvere l'equazione cambiando il segno dello stesso, togliendo il modulo;
  • Verificare infine se le soluzioni trovate sono accettabili.
In questo tipo di equazioni è possibile trovare una soluzione, due soluzioni oppure zero soluzioni.

Equazioni con due moduli

Una equazione con due moduli è una equazione dove l'incognita compare anche in due moduli. Il procedimento è molto simile a quello visto poco fa, l'unica cosa che cambia è che in questo caso abbiamo due argomenti da valutare e dunque avremo tre casi da studiare.
Esempio
Risolvere la seguente equazione con due moduli \( |2x-3|-|1-2x|+x=4 \) \( |2x-3|-|1-2x|+x=4 \) \( |2x-3|-|1-2x|+x=4 \)
Bisogna studiare il segno di \(2x-3\) e di \(1-2x\) $$ 2x-3\geq 0\Rightarrow x\geq\frac{3}{2} $$ $$ 1-2x\geq 0\Rightarrow x\leq\frac{1}{2} $$ Sintetizziamo in un grafico il segno di questi due argomenti in base ai due punti appena trovati

Si sono generati, con due punti, tre intervalli e dunque tre casi da esaminare.
CASO 1 \(\rightarrow\) \(x< \frac{1}{2}\): In questo caso il primo argomento risulta negativo, dunque va cambiato di segno, mentre il secondo è positivo, rimane com'è $$ -2x+3-(1-2x)+x=4 $$ $$ -2x+3-(1-2x)+x=4 $$ $$ -2x+3-(1-2x)+x=4 $$ $$ \downarrow $$ $$ -2x+2x+x=-3+1+4 $$ $$ -2x+2x+x=-3+1+4 $$ $$ -2x+2x+x=-3+1+4 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=2 $$ La soluzione non è accettabile in quanto \(2\) non risulta più piccolo di \(\frac{1}{2}\).
CASO 2 \(\rightarrow\) \(\frac{1}{2}\leq x< \frac{3}{2}\): In questo caso sono entrambi negativi, dunque bisogna cambiarli di segno $$ -2x+3-(-1+2x)+x=4 $$ $$ -2x+3-(-1+2x)+x=4 $$ $$ -2x+3-(-1+2x)+x=4 $$ $$ \downarrow $$ $$ -2x-2x+x=-3-1+4 $$ $$ -2x-2x+x=-3-1+4 $$ $$ -2x-2x+x=-3-1+4 $$ $$ \downarrow $$ $$ -3x=0\Rightarrow x=0 $$ La soluzione non è accettabile in quanto \(0\) non risulta nell'intervallo \(\frac{1}{2}\leq x< \frac{3}{2}\).
CASO 3 \(\rightarrow\) \( x\geq \frac{3}{2}\): In questo caso il primo argomento è positivo mentre il secondo è negativo $$ 2x-3-(-1+2x)+x=4 $$ $$ 2x-3-(-1+2x)+x=4 $$ $$ 2x-3-(-1+2x)+x=4 $$ $$ \downarrow $$ $$ 2x-2x+x=+3-1+4 $$ $$ 2x-2x+x=+3-1+4 $$ $$ 2x-2x+x=+3-1+4 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=6 $$ La soluzione è accettabile in quanto \(6\) risulta più grande di \(\frac{3}{2}\).
La soluzione dell'equazione è dunque $$ x=6 $$
Da memorizzare!
Passi per risolvere una equazione con due moduli
  • Studiare il segno dei due argomenti dei moduli, ponendoli maggiori o uguali di zero;
  • Considerare i tre casi studiando il relativo grafico con tre intervalli;
  • Nel caso di argomento positivo bisogna risolvere l'equazione così com'è, togliendo il modulo;
  • Nel caso di argomento negativo bisogna risolvere l'equazione cambiando il segno dello stesso, togliendo il modulo;
  • Verificare infine se le soluzioni trovate sono accettabili.
In questo tipo di equazioni è possibile trovare zero soluzioni, una soluzione, due soluzioni o tre soluzioni.
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