Equazioni logaritmiche
Una equazione logaritmica è una equazione dove l'incognita compare all'interno di uno o più logaritmi. Prima di affrontare la risoluzione bisogna fare alcuni richiami sui logaritmi.
Definizione e dominio di un logaritmo

Consideriamo la seguente potenza con base \(a\) positiva e diversa da \(1\) $$ a^c=b $$ Il logaritmo rappresenta l'esponente da dare ad \(a\) per ottenere come risultato \(b\) $$ c=log_a b $$ Nel logaritmo \(a\) si chiama base e \(b\) si chiama argomento. Visto che la base della potenza è positiva, anche il risultato \(b\) è positivo.
Dunque l'argomento di un logaritmo deve essere sempre un numero positivo. Il logaritmo è l'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza.
Proprietà di un logaritmo

Come al solito, per risolvere questo tipo di equazioni, bisogna svolgere una serie di passaggi algebrici per ricondurci ad una delle due forme base, con \(a>0\) e \(a\neq 1\):
Esempio 1
Risolvere la seguente equazione logaritmica prima forma \( \hspace{3mm}2log_{\frac{1}{2}}x+log_{\frac{1}{2}}6=log_{\frac{1}{2}}(5x-1) \) \( \hspace{3mm}2log_{\frac{1}{2}}x+log_{\frac{1}{2}}6=log_{\frac{1}{2}}(5x-1) \) \( \hspace{3mm}2log_{\frac{1}{2}}x+log_{\frac{1}{2}}6=log_{\frac{1}{2}}(5x-1) \)
Visto che abbiamo soltanto dei logaritmi, dobbiamo ricondurci alla prima forma base. Prima di fare questo bisogna imporre le condizioni di esistenza dei logaritmi. Ogni argomento deve essere positivo. Il secondo argomento è \(6\) che è già positivo $$ \left\{\begin{matrix} x>0 \\ 5x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{5} \end{matrix}\right. $$ La condizione di esistenza, cioè soluzione del sistema, è \(x>\frac{1}{5}\)

Dobbiamo avere un solo logaritmo a destra e uno solo a sinistra. A sinistra possiamo utilizzare la proprietà del prodotto di logaritmi, inoltre sfruttando la potenza di un logaritmo possiamo spostare il \(2\) come esponente di x nel primo logaritmo di sinistra, dunque $$ log_{\frac{1}{2}}(x^2\cdot 6)=log_{\frac{1}{2}}(5x-1) $$ $$ log_{\frac{1}{2}}(x^2\cdot 6)=log_{\frac{1}{2}}(5x-1) $$ $$ log_{\frac{1}{2}}(x^2\cdot 6)=log_{\frac{1}{2}}(5x-1) $$ Ci siamo finalmente ricondotti alla prima forma base. Possiamo uguagliare gli argomenti $$ 6x^2=5x-1 $$ Risolviamo questa banale equazione di secondo grado $$ 6x^2-5x+1=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=25-24=1 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\frac{5\pm 1}{12} $$ $$ \downarrow $$ $$ x_1=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} $$ $$ x_2=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} $$ Non abbiamo ancora finito. Bisogna verificare se le due soluzioni trovate rispettano la condizione di esistenza, cioè se sono maggiori di \(\frac{1}{5}\). In questo caso entrambe soddisfano tale condizione, dunque sono soluzione dell'equazione logaritmica.
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione logaritmica seconda forma \( \hspace{3mm}log_2(x+6)-log_2 x=2 \) \( \hspace{3mm}log_2(x+6)-log_2 x=2 \) \( \hspace{3mm}log_2(x+6)-log_2 x=2 \)
Visto che abbiamo anche un numero oltre ai logaritmi, dobbiamo ricondurci alla seconda forma base. Prima di fare questo bisogna imporre le condizioni di esistenza dei logaritmi. Ogni argomento deve essere positivo $$ \left\{\begin{matrix} x>0 \\ x+6>0\Rightarrow x>-6 \end{matrix}\right. $$ La condizione di esistenza, cioè soluzione del sistema, è \(x>0\)

Dobbiamo avere un solo logaritmo a sinistra. A sinistra possiamo utilizzare la proprietà del quoziente di logaritmi $$ log_2(\frac{x+6}{x})=2 $$ Ci siamo finalmente ricondotti alla seconda forma base. Possiamo applicare l'esponenziale a entrambi i membri $$ \frac{x+6}{x}=2^2 $$ Risolviamo questa banale equazione fratta $$ \frac{x+6}{x}-4=0 $$ Possiamo moltiplicare tutto per \(x\) se esso è diverso da \(0\) $$ x+6-4x=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ -3x=-6 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=2 $$ Non abbiamo ancora finito. La soluzione è diversa da \(0\), inoltre bisogna verificare se la soluzione trovata rispetta la condizione di esistenza, cioè se è maggiore di \(0\). In questo caso soddisfa tale condizione, dunque è soluzione dell'equazione logaritmica.
Esempio 3
Risolvere la seguente equazione logaritmica cambio di base \( \hspace{3mm}log_2(x)+log_4 x=2 \)
Abbiamo due logaritmi con base diversa, dunque è necessario utilizzare la formula di cambio di base per ricondurci a logaritmi con la stessa base. Prima di fare questo bisogna imporre le condizioni di esistenza dei logaritmi. Ogni argomento deve essere positivo. La condizione di esistenza è \(x>0\). Trasformiamo tutti i logaritmi nella stessa base \(4\) $$ \frac{log_4 x}{log_4 2}+log_4 x=2 $$ $$ \downarrow $$ $$ \frac{log_4 x}{\frac{1}{2}}+log_4 x=2 $$ $$ \downarrow $$ $$ 2log_4 x+log_4 x=2 $$ $$ \downarrow $$ $$ log_4 x^2+log_4 x=2 $$ $$ \downarrow $$ $$ log_4 (x^2\cdot x)=2 $$ $$ \downarrow $$ $$ log_4 x^3=2 $$ Ci siamo ricondotti alla seconda forma base, dunque applichiamo l'esponenziale $$ x^3=4^2 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\sqrt[3]{16} $$ La soluzione è accettabile in quanto rispetta la condizione di esistenza.
Esempio 4
Risolvere la seguente equazione logaritmica cambio di variabile \( \hspace{3mm}log_3 ^2(x+1)+2log_3(x+1)+1=0 \) \( \hspace{3mm}log_3 ^2(x+1)+2log_3(x+1)+1=0 \) \( \hspace{3mm}log_3 ^2(x+1)+2log_3(x+1)+1=0 \)
Bisogna imporre le condizioni di esistenza dei logaritmi. Ogni argomento deve essere positivo. La condizione di esistenza è \(x+1>0\Rightarrow x>-1\). Possiamo pensare di fare un cambio di variabile perchè abbiamo lo stesso logaritmo prima al quadrato e poi con esponente uno, dunque $$ log_3(x+1)=y $$ Adesso l'equazione diventerà molto più semplice $$ y^2+2y+1=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ \Delta=4-4=0 $$ $$ \downarrow $$ $$ y=\frac{-2\pm 0}{2}=-1 $$ Bisogna adesso ritornare alla variabile \(x\), sostituendo il valore \(-1\) alla \(y\) $$ log_3(x+1)=-1 $$ Applichiamo l'esponenziale $$ x+1=3^{-1} $$ $$ \downarrow $$ $$ x=\frac{1}{3}-1 $$ $$ \downarrow $$ $$ x=-\frac{2}{3} $$ La soluzione è accettabile perchè rispetta la condizione di esistenza, cioè è maggiore di \(-1\).
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