Disequazioni con modulo
Una disequazione con un modulo è una disequazione dove l'incognita compare anche in un modulo. Il ragionamento per risolvere questo tipo di disequazioni è molto simile a quello che abbiamo visto nelle equazioni con modulo. L'unica cosa che cambia è che bisogna, nei vari casi, effettuare una intersezione e una unione finale con tutte le soluzioni. Per capire come procedere in questo caso, è conveniente discutere un esempio concreto, per poi schematizzare il procedimento.
Esempio
Risolvere la seguente disequazione con un modulo \( 2x+|x-3|>0 \)
Come al solito bisogna studiare il segno di \(x-3\) $$ x-3\geq 0\Rightarrow x\geq 3 $$ L'argomento è positivo per valori superiori a \(3\). Bisogna distinguere due casi, uno dove è positiva l'altro dove è negativa.
CASO 1 \(\rightarrow\) \(x\geq 3\): In questo caso possiamo togliere il modulo lasciando l'espressione invariata, dunque $$ 2x+x-3>0\Rightarrow x>1 $$ $$ 2x+x-3>0\Rightarrow x>1 $$ $$ 2x+x-3>0\Rightarrow x>1 $$ Bisogna stare attenti perchè questa volta non bisogna capire se la soluzione è accettabile oppure no, ma è necessario scrivere esplicitamente che si tratta di un sistema di disequazioni formato dalla condizione iniziale e dalla soluzione parziale appena trovata, cioè $$ \left\{\begin{matrix} x\geq 3 \\ x>1 \end{matrix}\right. $$ Bisogna capire dove le due disequazioni sono verificate. Graficamente

Dunque la soluzione per il primo caso è $$ x\geq 3 $$ Attenzione perchè il valore \(3\) è soluzione di entrambe le disequazioni, dunque va inserito.
CASO 2 \(\rightarrow\) \(x< 3\): In questo caso possiamo togliere il modulo cambiando il segno all'espressione, dunque $$ 2x-x+3>0\Rightarrow x>-3 $$ $$ 2x-x+3>0\Rightarrow x>-3 $$ $$ 2x-x+3>0\Rightarrow x>-3 $$ Scriviamo come prima il sistema $$ \left\{\begin{matrix} x< 3 \\ x>-3 \end{matrix}\right. $$ Bisogna capire dove le due disequazioni sono verificate. Graficamente

Dunque la soluzione per il secondo caso è $$ -3< x< 3 $$ Per trovare la soluzione finale è necessario unire le due soluzioni dei due sistemi. Graficamente

Visto che le due soluzioni si susseguono con continuità possiamo scrivere $$ x>-3 $$
Da memorizzare!
Passi per risolvere una disequazione con un modulo
  • Studiare il segno dell'argomento del modulo, ponendolo maggiore o uguale di zero;
  • Considerare i due casi. Uno dove l'argomento è positivo, l'altro dove è negativo;
  • Nel caso di argomento positivo bisogna risolvere l'equazione così com'è, togliendo il modulo. Risolvere il sistema con le due disequazioni;
  • Nel caso di argomento negativo bisogna risolvere l'equazione cambiando il segno dello stesso, togliendo il modulo. Risolvere il sistema con le due disequazioni;
  • Unire infine le soluzioni trovate nei due sistemi.
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