Disequazioni irrazionali
Una disequazione irrazionale è una disequazione dove l'incognita compare sotto il segno di radice. Per poter affrontare al meglio questo tipo di equazioni è necessario conoscere le tecniche viste per le equazioni irrazionali.
Possiamo distingure tra disequazioni irrazionali con indice pari e disequazioni irrazionali con indice pari. Le prime sono quelle più "complesse" da trattare.
Una disequazione irrazionale può apparire sotto diverse forme. Dobbiamo essere bravi noi, con una serie di passaggi algebrici, a ricondurci al seguente caso $$ \sqrt{f(x)}\gtreqless g(x) $$ Dove \(f(x)\) e \(g(x)\) sono espressioni contenenti l'incognita \(x\). Dunque dobbiamo avere un radicale da una parte e un numero o espressione con la \(x\) dall'altra parte.
Disequazioni irrazionali con indice pari

Possiamo distinguere quattro casi in base al verso della disequazione:

Da memorizzare!
Riassunto soluzioni disequazioni irrazionali indice pari
$$ \sqrt[n]{f(x)}\geq g(x)\iff \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)\geq [g(x)]^2 \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)< 0 \end{matrix}\right. $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}\geq g(x) $$ $$ \Updownarrow $$ $$ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)\geq [g(x)]^2 \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)< 0 \end{matrix}\right. $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}\geq g(x) $$ $$ \Updownarrow $$ $$ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)\geq [g(x)]^2 \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)< 0 \end{matrix}\right. $$
$$ \sqrt[n]{f(x)}> g(x)\iff \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)> [g(x)]^2 \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)< 0 \end{matrix}\right. $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}> g(x) $$ $$ \Updownarrow $$ $$ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)> [g(x)]^2 \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)< 0 \end{matrix}\right. $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}> g(x) $$ $$ \Updownarrow $$ $$ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)> [g(x)]^2 \end{matrix}\right. \cup \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)< 0 \end{matrix}\right. $$
$$ \sqrt[n]{f(x)}\leq g(x)\iff \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)\leq [g(x)]^2 \end{matrix}\right. $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}\leq g(x)\iff \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)\leq [g(x)]^2 \end{matrix}\right. $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}\leq g(x) $$ $$ \Updownarrow $$ $$ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \\ f(x)\leq [g(x)]^2 \end{matrix}\right. $$
$$ \sqrt[n]{f(x)}< g(x)\iff \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)> 0 \\ f(x)< [g(x)]^2 \end{matrix}\right. $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}< g(x)\iff \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)> 0 \\ f(x)< [g(x)]^2 \end{matrix}\right. $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}< g(x) $$ $$ \Updownarrow $$ $$ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0 \\ g(x)> 0 \\ f(x)< [g(x)]^2 \end{matrix}\right. $$

Disequazioni irrazionali con indice dispari

In questo non abbiamo problemi, in quanto le radici dispari non hanno condizioni di positività, esistono sempre.
Da memorizzare!
Riassunto soluzioni disequazioni irrazionali indice dispari
E' sufficiente elevare all'indice \(n\) tutta l'equazione $$ \sqrt[n]{f(x)}\gtreqless g(x)\iff f(x)\gtreqless [g(x)]^n $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}\gtreqless g(x)\iff f(x)\gtreqless [g(x)]^n $$ $$ \sqrt[n]{f(x)}\gtreqless g(x) $$ $$ \Updownarrow $$ $$ f(x)\gtreqless [g(x)]^n $$
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