Disequazioni esponenziali
Una disequazione esponenziale è una disequazione dove l'incognita compare all'esponente della potenza. Le tecniche per risolvere queste disequazioni sono le stesse viste nelle equazioni esponenziali.
Supponiamo di avere due potenze \(a^m\) e \(a^n\). Se \(m>n\) possiamo dire che \(a^m>a^n\)? Vediamo due esempi $$ 2^3>2^2 $$ Questa disequazione è vera perchè \(8\) è maggiore di \(4\), in più il primo esponente \(3\) è maggiore del secondo esponente \(2\). Consideriamo adesso gli stessi esponenti però con base \(\frac{1}{2}\) $$ \left(\frac{1}{2}\right)^3>\left(\frac{1}{2}\right)^2 $$ In questo caso non è valida perchè \(\frac{1}{8}\)è più piccolo di \(\frac{1}{4}\).
Da memorizzare!
Risoluzione disequazioni esponenziali
Bisogna considerare due possibilità dipendenti dalla base della potenza
  • Se \(a>1\)
  • e \(m>n \iff a^m>a^n\) Il verso della disequazione si mantiene. Si dice che la funzione è crescente;
  • Se \(0< a< 1\)
  • e \(m>n \iff a^m< a^n\) Il verso della disequazione si inverte. Si dice che la funzione è decrescente.
Esempio 1
Risolvere la seguente disequazione esponenziale elementare \( \hspace{3mm}2^{x+1}>1 \)
Trasformiamo \(1\) in potenza di \(2\) $$ 2^{x+1}>2^0 $$ Visto che la base è maggiore di uno possiamo mantenere inalterato il verso $$ 2^{x+1}>2^0\Rightarrow x+1>0 $$ La soluzione della disequazione è $$ x>-1 $$
Esempio 2
Risolvere la seguente disequazione esponenziale con logaritmo \( \hspace{3mm}\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}\leq 5 \)
Applichiamo il logaritmo in base \(\frac{1}{2}\) a entrambi i membri. Visto che la base è minore di \(1\) bisogna invertire il verso $$ x+1\geq log_{\frac{1}{2}}5 $$ Dunque la soluzione finale è $$ x\geq log_{\frac{1}{2}}5 -1 $$
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