Disequazioni algebriche
Una disequazione è una disuguaglianza tra due termini. Si presenta come una equazione solo che al posto del simbolo di uguale possiamo trovare sostanzialmente quattro simboli:
Una disequazione, a differenza delle equazioni, è verificata per un certo intervallo di valori.
Valgono i principi di equivalenza che abbiamo visto per le equazioni, con una proprietà molto importante che è la seguente
Proprietà
Cambiamento di verso
Quando moltiplichiamo o dividiamo una disequazione per un numero negativo il verso della disequazione cambia. Se era di maggiore diventa minore e viceversa. Tenete bene a mente questa proprietà perchè è fondamentale per non incorrere in errori banali.
Disequazioni di primo grado

Una disequazione di primo grado è una disequazione dove l'incognita compare con grado massimo pari ad uno. Ad esempio $$ x-1>0 $$ Per risolvere una disequazione di primo grado è sufficiente utilizzare gli stessi metodi che abbiamo visto per le equazioni di primo grado.
Esempio 1
Risolvere la seguente disequazione di primo grado \( 2x-1>0 \)
Utilizzando il primo principio è possibile spostare il \(-1\) a destra, cambiandolo di segno $$ 2x>+1 $$ Utilizzando il secondo principio è possibile dividere tutto per \(2\) $$ x>\frac{1}{2} $$ Il valore della x, per essere valido, deve appartenere al seguente intervallo di soluzione $$ x\in \left(\frac{1}{2},+\infty\right) $$ Per verificare se la soluzione è corretta vi basterà sostituire alla \(x\) un qualsiasi valore maggiore di \(\frac{1}{2}\). Se facendo tali prove si incorre in una contraddizione della disuguaglianza, allora la soluzione non è corretta.
Esempio 2
Risolvere la seguente disequazione di primo grado \( -x+2\leq 1 \)
Utilizzando il primo principio è possibile spostare il \(+1\) a destra, cambiandolo di segno $$ -x\leq -1 $$ Utilizzando il secondo principio è possibile moltiplicare tutto per \(-1\), in modo da rendere positiva la x al primo membro $$ x\geq 1 $$ Attenzione perchè il verso della disequazione è cambiato, in quanto abbiamo moltiplicato per una quantità negativa. Il valore della x, per essere valido, deve appartenere al seguente intervallo di soluzione $$ x\in [1,+\infty) $$ Attenzione perchè il valore \(1\) è compreso nell'intervallo di soluzione, dunque si utilizza la parentesi quadra a sinistra di \(1\).

Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado è una disequazione dove l'incognita compare con grado massimo pari a due. Questo tipo di disequazioni si possono presentare sotto varie forme, quella completa è la seguente $$ ax^2+bx+c\gtreqless 0 $$Per comodità considereremo il caso in cui \(a>0\). Se è negativo basterà moltiplicare tutto per \(-1\) e cambiare verso alla disequazione.
Per risolvere questo tipo di disequazioni bisogna analizzare il verso della disequazione e calcolare il \(\Delta\) della equazione di secondo grado associata alla disequazione di partenza. Si possono verificare tre casi:
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