Somma tra due cubi
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Prerequisito: prodotto tra polinomi
Supponiamo di voler calcolare il seguente prodotto $$ (a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) $$ Dove come primo termine abbiamo un binomio di primo grado e come secondo termine abbiamo un trinomio che rappresenta il falso quadrato di binomio di \(a+b\).
Il risultato sarà $$ \require{cancel} a\cdot(a)^2+a\cdot(-ab)+a\cdot(b)^2+b\cdot(a)^2+b\cdot(-ab)+b\cdot(b)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3-\bcancel{a^2b}+\bcancel{ab^2}+\bcancel{a^2b}-\bcancel{ab^2}+b^3 $$ $$ \require{cancel} a\cdot(a)^2+a\cdot(-ab)+a\cdot(b)^2+b\cdot(a)^2+$$ $$+b\cdot(-ab)+b\cdot(b)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3-\bcancel{a^2b}+\bcancel{ab^2}+\bcancel{a^2b}-\bcancel{ab^2}+b^3 $$ $$ \require{cancel} a\cdot(a)^2+a\cdot(-ab)+a\cdot(b)^2+$$ $$+b\cdot(a)^2+b\cdot(-ab)+b\cdot(b)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3-\bcancel{a^2b}+\bcancel{ab^2}+\bcancel{a^2b}-\bcancel{ab^2}+b^3 $$
Somma tra due cubi

Questo rappresenta uno dei prodotti notevoli più frequente e ci dice precisamente che la somma tra due cubi è dato dal prodotto di due termini, il primo rappresenta la somma tra le basi dei due cubi e il secondo termine rappresenta il falso quadrato di binomio della somma delle due basi. $$ (a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $$ $$ (a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $$ $$ (a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)$$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3+b^3 $$
La somma tra due cubi in genere viene usata per scomporre alcuni polinomi, come vedremo successivamente.
Esempio svolto

$$ 8x^3+y^3 $$ Questa espressione rappresenta proprio la somma tra due cubi. Per poter usare la formula scritta sopra bisogna trovare le basi dei due monomi facendo una semplice radice cubica, quindi \(2x\) rappresenta la base di \(8x^3\) e \(y\) rappresenta la base di \(y^3\). Il risultato finale sarà $$ 8x^3+y^3=(2x+y)\cdot(4x^2-2xy+y^2) $$ $$ 8x^3+y^3=(2x+y)\cdot(4x^2-2xy+y^2) $$ $$ 8x^3+y^3$$ $$ \Downarrow $$ $$(2x+y)\cdot(4x^2-2xy+y^2) $$
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