Teorema del resto di Ruffini
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Prerequisito: Regola di Ruffini
Abbiamo visto che il polinomio dividendo si può scrivere nel seguente modo $$ Dividendo=Divisore\cdot Quoziente+Resto $$ $$ Dividendo=Divisore\cdot Quoziente+Resto $$ $$ Dividendo $$ $$ \Downarrow $$ $$ Divisore\cdot Quoziente+Resto $$ Se il polinomio dividendo dipende dalla \(x\) e il divisore è quello di Ruffini cioè \((x-a)\) (oppure \((x+a)\) è indifferente) otteniamo $$ P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+Resto $$ $$ P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+Resto $$ $$ P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+Resto $$ Da questa formula noi vogliamo ricavare il resto. Per fare ciò bisogna far scomparire \((x-a)\cdot Q(x)\). Se riusciamo ad azzerare \((x-a)\) abbiamo risolto. Basterà sostituire al posto della \(x\) il valore \(a\), dunque avremo $$ P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+Resto $$ $$ P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+Resto $$ $$ P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+Resto $$ Ricaviamo la formula finale $$ Resto=P(a) $$
Resto di Ruffini

Consideriamo una qualsiasi divisione tra polinomi dove è possibile utilizzare Ruffini.
Il resto della divisione è pari al polinomio dividendo calcolato nel termine noto del divisore cambiato di segno.
Esempi svolti

  • \( (3x^3+7x^2+4x+4):(x+2) \) \( (3x^3+7x^2+4x+4):(x+2) \) \( (3x^3+7x^2+4x+4):(x+2) \)
  • Per trovare il resto di questa divisione basterà calcolare il polinomio dividendo in \(-2\) cioè $$ R=P(-2)=3(-2)^3+7(-2)^2+4(-2)+4 $$ $$ R=P(-2)$$ $$ \Downarrow $$ $$ 3(-2)^3+7(-2)^2+4(-2)+4 $$ $$ R=P(-2)3(-2)^3+7(-2)^2+4(-2)+4 $$ $$ R=-24+28-8+4=0 $$ $$ R=-24+28-8+4=0 $$ $$ R=-24+28-8+4=0 $$ Il dividendo è divisibile per \((x+2)\).
  • \( (2x^4+x^2-1):(2x-2) \) \( (2x^4+x^2-1):(2x-2) \) \( (2x^4+x^2-1):(2x-2) \)
  • In questo caso, il divisore non è nella forma di Ruffini, infatti ha un coefficiente diverso da \(1\). Dunque prima di applicare la formula bisogna dividere tutto per \(2\) $$ \left(x^4+\frac{1}{2}x^2-{1}{2}\right):(x-1) $$ $$ \left(x^4+\frac{1}{2}x^2-{1}{2}\right):(x-1) $$ $$ \left(x^4+\frac{1}{2}x^2-{1}{2}\right):(x-1) $$ Calcoliamo il resto $$ R=P(1)=1^4+\frac{1}{2}1^2-\frac{1}{2}=1 $$ $$ R=P(1)=1^4+\frac{1}{2}1^2-\frac{1}{2}=1 $$ $$ R=P(1)$$ $$ \Downarrow $$ $$ 1^4+\frac{1}{2}1^2-\frac{1}{2}=1 $$
  • \( (x^2-5x+4):(x-1) \) \( (x^2-5x+4):(x-1) \) \( (x^2-5x+4):(x-1) \)
  • Calcoliamo il resto $$ R=P(1)=1^2-5+4=0 $$ $$ R=P(1)=1^2-5+4=0 $$ $$ R=P(1)=1^2-5+4=0 $$ Il dividendo è divisibile per \((x-1)\).
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