Quadrato di trinomio
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Prerequisito: prodotto tra polinomi
Dal nome, quadrato di trinomio,si intuisce che eleveremo al quadrato un trinomio.
Supponiamo di voler calcolare la seguente espressione $$ (a+b+c)^2 $$ Calcolare il quadrato di un qualcosa significa prendere quel qualcosa e moltiplicarla per se stessa, quindi $$ (a+b+c)^2=(a+b+c)\cdot(a+b+c) $$ $$ (a+b+c)^2=(a+b+c)\cdot(a+b+c) $$ $$ (a+b+c)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (a+b+c)\cdot(a+b+c) $$ Non ci resta che svolgere il prodotto tra questi due polinomi e sommare infine i monomi simili $$ (a+b+c)\cdot(a+b+c)=a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$ $$ (a+b+c)\cdot(a+b+c) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$ $$ (a+b+c)\cdot(a+b+c) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ $$ $$ +ca+cb+c^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$
Quadrato di trinomio

Il quadrato di trinomio si calcola facendo la somma tra i tre quadrati dei monomi e i tre doppi prodotti, dove abbiamo tutte le combinazioni a \(2\) di tutti i monomi, cioè \(ab\), \(ac\) e \(bc\) $$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$ $$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$ $$ (a+b+c)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2+b^2+c^2+2ab+ $$ $$ +2ac+2bc $$
Esempi svolti

  • \( (2x-y+z)^2 \)
  • Il risultato sarà $$ (2x)^2+(-y)^2+(z)^2+2\cdot(2x)\cdot(-y)+2\cdot(2x)\cdot(z)+2\cdot(-y)\cdot(z)$$ $$ \Downarrow $$ $$4x^2+y^2+z^2-4xy+4xz-2yz $$ $$ (2x)^2+(-y)^2+(z)^2+2(2x)(-y)+$$ $$+2(2x)(z)+2(-y)(z) $$ $$ \Downarrow $$ $$ 4x^2+y^2+z^2-4xy+4xz-2yz $$ $$ (2x)^2+(-y)^2+(z)^2+ $$ $$ +2(2x)(-y)+$$ $$+2(2x)(z)+$$ $$+2(-y)(z)$$ $$ \Downarrow $$ $$ 4x^2+y^2+z^2-$$ $$-4xy+4xz-2yz $$
  • \( (a-2b-c)^2 \)
  • Utilizziamo direttamente la formula $$ a^2+(-2b)^2+(-c)^2+2\cdot(a)\cdot(-2b)+2\cdot(a)\cdot(-c)+2\cdot(-2b)\cdot(-c)$$ $$ \Downarrow $$ $$a^2+4b^2+c^2-4ab-2ac+4bc $$ $$ a^2+(-2b)^2+(-c)^2+2(a)(-2b)+$$ $$+2(a)(-c)+2(-2b)(-c)$$ $$ \Downarrow $$ $$a^2+4b^2+c^2-4ab-2ac+4bc $$ $$ a^2+(-2b)^2+(-c)^2+$$ $$+2(a)(-2b)+2(a)(-c)+$$ $$+2(-2b)(-c)$$ $$ \Downarrow $$ $$a^2+4b^2+c^2-$$ $$-4ab-2ac+4bc $$
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