Prodotto tra polinomi
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Prerequisito: prodotto tra monomi
Cosa succede quando moltiplichiamo due polinomi? Questa operazione restituirà un nuovo polinomio che si ottiene moltiplicando ogni monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo polinomio, sempre rispettando i segni. Controllare sempre se i polinomi sono scritti in forma normale.
Quanti termini avrà il nuovo polinomio? Se il primo polinomio ha \(n\) termini e il secondo ne ha \(m\) allora il nuovo polinomio avrà un numero di termini pari al prodotto \(n\cdot m\).
Esempi svolti

  • \( (2x+y)\cdot(x^2-2xy) \) \( (2x+y)\cdot(x^2-2xy) \) \( (2x+y)\cdot(x^2-2xy) \)
  • Conviene, per chi è alle prime armi, calcolare i prodotti parziali per poi fare la somma algebrica di tali prodotti, ottenendo il risultato finale. In questo caso il numero di elementi e quindi di prodotti parziali è \(2\cdot2\) cioè \(4\):
    1. \(\hspace{2mm}2x\cdot(x^2)=2x^3\)
    2. \(\hspace{2mm}2x\cdot(-2xy)=-4x^2y\)
    3. \(\hspace{2mm}y\cdot(x^2)=x^2y\)
    4. \(\hspace{2mm}y\cdot(-2xy)=-2xy^2\)
    Il risultato finale è la somma algebrica $$ 2x^3-4x^2y+x^2y-2xy^2=2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ $$ 2x^3-4x^2y+x^2y-2xy^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ $$ 2x^3-4x^2y+x^2y-2xy^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 2x^3-3x^2y-2xy^2 $$ Ricordate sempre di sommare i termini simili.
  • \( (a+2b^2-2c)\cdot(a^2-b) \) \( (a+2b^2-2c)\cdot(a^2-b) \) \( (a+2b^2-2c)\cdot(a^2-b) \)
  • In questo caso il numero di prodotti parziali è \(3\cdot 2\) cioè \(6\). Svolgendo direttamente i calcoli abbiamo $$ a\cdot(a^2)+a\cdot(-b)+2b^2\cdot(a^2)+2b^2\cdot(-b) +(-2c)\cdot(a^2)+(-2c)\cdot(-b)$$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3-ab+2a^2b^2-2b^3-2a^2c+2bc $$ $$ a(a^2)+a(-b)+2b^2(a^2)+2b^2(-b)+$$ $$ +(-2c)(a^2)+(-2c)(-b)$$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3-ab+2a^2b^2-2b^3-2a^2c+2bc $$ $$ a\cdot(a^2)+a\cdot(-b)+ $$ $$ +2b^2\cdot(a^2)+$$ $$+2b^2\cdot(-b)+$$ $$ +(-2c)\cdot(a^2)+ $$ $$ +(-2c)\cdot(-b)$$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3-ab+2a^2b^2-2b^3 $$ $$ -2a^2c+2bc $$
Ovviamente se dovete svolgere il prodotto tra \(3\) polinomi basterà svolgere il prodotto tra i primi \(2\) e poi ripetere il prodotto tra il risultato e il terzo polinomio.
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