Potenza n-esima di un binomio
Supponiamo di voler calcolare la seguente potenza $$ (a+b)^5 $$ Calcolare la quinta potenza di un qualcosa significa prendere quel qualcosa e moltiplicarla per se stessa cinque volte. E' una operazione abbastanza fastidiosa in quanto oltre alla perdita di tempo è possibile incorrere in errori di distrazione.
Più in generale, esiste un modo per calcolare la potenza n-esima di un binomio? Esiste una formula che ci permette un calcolo diretto e abbastanza rapido. Prima però è necessario fare due richiami di matematica.
Definizione di fattoriale

Il fattoriale di un numero naturale \(n\), indicato con \(n!\), è il prodotto dei numeri interi positivi che sono minori o uguali del numero \(n\) $$ n!=\prod_{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...\cdot (n-1)\cdot n $$ $$ n!=\prod_{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4...\cdot (n-1)\cdot n $$ $$ n!=\prod_{k=1}^{n}k $$ $$ \Downarrow $$ $$ 1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot (n-1)\cdot n $$ Il fattoriale di \(0\) è pari ad \(1\).
Esempi svolti

$$ 3!=1\cdot2\cdot3=6 $$ $$ 4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24 $$ $$ 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120 $$ $$ 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120 $$ $$ 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120 $$ $$ 6!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720 $$ $$ 6!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720 $$ $$ 6!=2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=720 $$
Definizione di coefficiente binomiale

Dati due numeri naturali \(n\) e \(k\), dove \(k\) è minore o uguale di \(n\), possiamo definire il coefficiente binomiale, indicato con \(\binom{n}{k}\),che rappresenta un numero intero non negativo dato dalla seguente formula $$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} $$ $$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} $$ $$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} $$ Esistono dei coefficienti binomiali utili da ricordare $$ \binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1 $$ $$ \binom{n}{1}=n $$
Esempi svolti

$$ \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{5\cdot4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}=10 $$ $$ \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=\frac{5\cdot4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}=10 $$ $$ \binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=10 $$
$$ \binom{4}{3}=\frac{4!}{3!\cdot (4-3)!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot2\cdot 1\cdot ( 1)}=4 $$ $$ \binom{4}{3}=\frac{4!}{3!\cdot (4-3)!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot2\cdot 1\cdot ( 1)}=4 $$ $$ \binom{4}{3}=\frac{4!}{3!\cdot (4-3)!}=4 $$
$$ \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot ( 2\cdot1)}=6 $$ $$ \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1\cdot ( 2\cdot1)}=6 $$ $$ \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=6 $$
$$ \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot (6-3)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot ( 3\cdot 2\cdot1)}=20 $$ $$ \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot (6-3)!}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot ( 3\cdot 2\cdot1)}=20 $$ $$ \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!\cdot (6-3)!}=20 $$
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