Differenza tra due quadrati
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Prerequisito: prodotto tra polinomi
Supponiamo di voler calcolare il prodotto tra la somma di due monomi e la differenza degli stessi monomi cioè $$ (a+b)\cdot(a-b) $$ Ormai sappiamo svolgere questo prodotto $$ a\cdot(a)+a\cdot(-b)+b\cdot(a)+b\cdot(-b)=a^2 \require{cancel} \bcancel{-ab} \bcancel{+ab}-b^2=a^2-b^2 $$ $$ a\cdot(a)+a\cdot(-b)+b\cdot(a)+b\cdot(-b) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2 \require{cancel} \bcancel{-ab} \bcancel{+ab}-b^2=a^2-b^2 $$ $$ a\cdot(a)+a\cdot(-b)+b\cdot(a)+b\cdot(-b) $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2 \require{cancel} \bcancel{-ab} \bcancel{+ab}-b^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^2-b^2 $$
Differenza tra due quadrati

Il prodotto tra la somma di due monomi e la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio. In altre parole la differenza tra i quadrati dei due monomi $$ (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 $$ $$ (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 $$ $$ (a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2 $$
Esempi svolti

  • \( (x-2y)\cdot(x+2y) \) \( (x-2y)\cdot(x+2y) \) \( (x-2y)\cdot(x+2y) \)
  • Come potete notare abbiamo la somma di due monomi per la diffenza, dove in questo caso \(a=x\) e \(b=2y\) quindi abbiamo il risultato finale $$ x^2-(2y)^2=x^2-4y^2 $$ $$ x^2-(2y)^2=x^2-4y^2 $$ $$ x^2-(2y)^2=x^2-4y^2 $$
  • \( (-2x-2y)\cdot(-2x+2y) \) \( (-2x-2y)\cdot(-2x+2y) \) \( (-2x-2y)\cdot(-2x+2y) \)
  • In questo caso \(a=-2x\) e \(b=2y\). Usiamo la formula finale $$ (-2x)^2-(2y)^2=4x^2-4y^2 $$ $$ (-2x)^2-(2y)^2=4x^2-4y^2 $$ $$ (-2x)^2-(2y)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 4x^2-4y^2 $$
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Il termine \(a\) che compare nella formula è quello che non cambia di segno, mentre \(b\) passa da positivo a negativo, quindi quello che non cambia di segno sarà il primo termine.
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