Definizioni sui polinomi
Che cos'è un polinomio
Warning

Prerequisito: monomi
Definizione polinomio

Un polinomio è una espressione matematica dove abbiamo la somma algebrica di più monomi.
Un monomio di per se rappresenta un polinomio che contiene un solo termine. State bene attenti perchè se nell'espressione è presente almeno un termine che non rappresenta un monomio allora non si può parlare di polinomio.
E' fondamentale capire quando siamo difronte ad un polinomio, qui seguito vediamo alcuni esempi:
Polinomio scritto in forma normale
Forma normale

Un polinomio è scritto in forma normale se non contiene polinomi simili tra di loro, significa che non è possibile effettuare somme tra i monomi presenti all'interno.
Se esistono monomi simili allora vanno sommati, in modo da scrivere il polinomio in forma normale.
Esempi svolti

  • \( a^2+2b+c-b^3 \) \( a^2+2b+c-b^3 \) \( a^2+2b+c-b^3 \)
  • Questo è un polinomio scritto in forma normale perchè non esistono monomi simili tra di loro.
  • \( 2a^2-2b+c-a^2+2c \) \( 2a^2-2b+c-a^2+2c \) \( 2a^2-2b+c-a^2+2c \)
  • Questo polinomio non è scritto in forma normale infatti \(2a^2\) e \(-a^2\) sono due monomi simili, inoltre anche \(c\) e \(2c\) sono monomi simili. Per rendere il polinomio in forma normale bisogna eseguire queste due somme, dunque in forma normale diventa $$ a^2-2b+3c $$
Una volta scritto un polinomio in forma normale possiamo chiamarlo con nomi "particolari" in base al numero di elementi: Esistono anche altri nomi ma quelli più usati sono questi.
Grado di un polinomio

Bisogna distinguere il grado complessivo del polinomio e il grado rispetto ad una lettera:
Esempio svolto
\( 3x^2+2x^3y^2-2yz \)
Per prima cosa troviamo il grado complessivo del polinomio
\(2\) è il grado del monomio \(3x^2\)
\(5\) è il grado del monomio \(2x^3y^2\)
\(2\) è il grado del monomio \(-2yz\)
Il grado più alto tra i monomi è \(5\), quindi il grado complessivo del polinomio è \(5\).

Vediamo adesso il grado del polinomio rispetto alla lettera x:
\(2\) è il grado del monomio \(3x^2\) rispetto alla lettera x
\(3\) è il grado del monomio \(2x^3y^2\) rispetto alla lettera x
\(0\) è il grado del monomio \(-2yz\) rispetto alla letera x
Il grado del polinomio rispetto alla lettera \(x\) è \(3\).

Vediamo adesso il grado del polinomio rispetto alla lettera y:
\(0\) è il grado del monomio \(3x^2\) rispetto alla lettera y
\(2\) è il grado del monomio \(2x^3y^2\) rispetto alla lettera y
\(1\) è il grado del monomio \(-2yz\) rispetto alla letera y
Il grado del polinomio rispetto alla lettera \(y\) è \(2\).

Vediamo infine il grado del polinomio rispetto alla lettera z:
\(0\) è il grado del monomio \(3x^2\) rispetto alla lettera z
\(0\) è il grado del monomio \(2x^3y^2\) rispetto alla lettera z
\(1\) è il grado del monomio \(-2yz\) rispetto alla letera z
Il grado del polinomio rispetto alla lettera z è 1.
Polinomio ordinato e completo
Polinomio ordinato

Un polinomio si dice ordinato se ,rispetto ad una lettera, gli esponenti hanno un ordine decrescente o crescente.
Esempi svolti

  • \( a^3+2a^2b-ab^2 \) \( a^3+2a^2b-ab^2 \) \( a^3+2a^2b-ab^2 \)
  • E' ordinato rispetto alla lettera \(a\) in ordine decrescente, infatti gli esponenti da sinistra a destra passano da \(3\) a \(2\) a \(1\). E' anche ordinato rispetto alla lettera \(b\) in ordine crescente, infatti gli esponenti passano da \(0\) a \(1\) a \(2\).
    In genere un polinomio viene ordinato rispetto ad una lettera in ordine decrescente. Se non è ordinato basterà spostare i monomi.
  • \( 3+x^2-x^3+2x \) \( 3+x^2-x^3+2x \) \( 3+x^2-x^3+2x \)
  • Questo polinomio non è ordinato in quanto gli esponenti della \(x\) non seguono un ordine. Spostiamo i monomi in modo da ottenere un ordine decrescente da sinistra a destra $$ -x^3+x^2+2x+3 $$ Spostiamo i monomi in modo da ottenere un ordine crescente da sinistra a destra $$ 3+2x+x^2-x^3 $$ Ricordiamo che un numero puro come il \(3\) ha la \(x\) con grado \(0\).
Polinomio completo

Un polinomio si dice completo,rispetto ad una lettera, se partendo dal grado più alto di quella lettera abbiamo tutti i gradi fino ad arrivare al grado \(0\).
Esempi svolti

  • \( a^3+2a^2-a+2 \) \( a^3+2a^2-a+2 \) \( a^3+2a^2-a+2 \)
  • E' completo rispetto alla lettera \(a\), infatti abbiamo il grado \(3\), il grado \(2\), il grado \(1\) e il grado \(0\).
  • \( a^3-a+2 \)
  • Non è completo perchè manca il termine di grado \(2\).
    Successivamente sarà fondamentale aggiungere il grado mancante inserendo come coefficiente 0. In questo polinomio manca il termine di grado \(2\). Si rimedia inserendo il termine di grado \(2\) $$ a^3+0a^2-a+2 $$
BACK \(\hspace{1mm}\) HOME \(\hspace{1mm}\) NEXT