Cubo di trinomio
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Prerequisito: prodotto tra polinomi
Dal nome, cubo di trinomio,si intuisce che eleveremo al cubo un trinomio.
Supponiamo di voler calcolare la seguente espressione $$ (a+b+c)^3 $$ Calcolare il cubo di un qualcosa significa prendere quel qualcosa e moltiplicarla per se stessa tre volte. Per non complicarci la vita conviene scrivere questo cubo nel seguente modo $$ (a+b+c)^3=(a+b+c)\cdot(a+b+c)^2 $$ $$ (a+b+c)^3=(a+b+c)\cdot(a+b+c)^2 $$ $$ (a+b+c)^3 $$ $$ \Downarrow $$ $$ (a+b+c)\cdot(a+b+c)^2 $$ In questo modo possiamo usare la formula del quadrato di trinomio che già conosciamo. Il calcolo diventa $$ (a+b+c)\cdot(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) $$ $$ (a+b+c)\cdot(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) $$ $$ (a+b+c)\cdot $$ $$\cdot(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) $$ Non ci resta che svolgere il prodotto tra questi due polinomi e sommare infine i monomi simili $$ a\cdot(a^2)+a\cdot(b^2)+a\cdot(c^2)+a\cdot2ab+a\cdot2ac+a\cdot2bc+b\cdot(a^2)+b\cdot(b^2)+b\cdot(c^2)+b\cdot2ab+ $$ $$ +b\cdot2ac+b\cdot2bc+c\cdot(a^2)+c\cdot(b^2)+c\cdot(c^2)+c\cdot2ab+c\cdot2ac+c\cdot2bc $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3+ab^2+ac^2+2a^2b+2a^2c+2abc+a^2b+b^3+bc^2+2ab^2+2abc+2b^2c+a^2c+b^2c+c^3+2abc+2ac^2+2bc^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc $$ $$ a\cdot(a^2)+a\cdot(b^2)+a\cdot(c^2)+a\cdot2ab+a\cdot2ac+$$ $$+a\cdot2bc+b\cdot(a^2)+b\cdot(b^2)+b\cdot(c^2)+b\cdot2ab+ $$ $$ +b\cdot2ac+b\cdot2bc+c\cdot(a^2)+c\cdot(b^2)+c\cdot(c^2)+$$ $$+c\cdot2ab+c\cdot2ac+c\cdot2bc $$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+ab^2+ac^2+2a^2b+2a^2c+$$ $$+2abc+a^2b+b^3+bc^2+2ab^2+$$ $$+2abc+2b^2c+a^2c+b^2c+c^3+$$ $$+2abc+2ac^2+2bc^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+$$ $$+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc $$ $$ a\cdot(a^2)+a\cdot(b^2)+a\cdot(c^2)+$$ $$+a\cdot2ab+a\cdot2ac+a\cdot2bc+$$ $$+b\cdot(a^2)+b\cdot(b^2)+b\cdot(c^2)+$$ $$+b\cdot2ab+b\cdot2ac+b\cdot2bc+$$ $$+c\cdot(a^2)+c\cdot(b^2)+c\cdot(c^2)+$$ $$+c\cdot2ab+c\cdot2ac+c\cdot2bc $$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+ab^2+ac^2+2a^2b+$$ $$+2a^2c+2abc+a^2b+b^3+$$ $$+bc^2 +2ab^2+2abc+2b^2c+$$ $$+a^2c+b^2c+c^3+2abc+$$ $$+2ac^2+2bc^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3+b^3+c^3+$$ $$+3a^2b+3ab^2+3a^2c+$$ $$+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc $$
Cubo di trinomio

Per calcolare il cubo di trinomio dobbiamo prima calcolare i cubi dei tre monomi, poi calcolare i sei tripli prodotti, semplicemente facendo tutte le combinazioni tra il quadrato e il monomio base, poi calcolare \(6abc\) e fare la somma di tutti i termini. $$ (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc $$ $$ (a+b+c)^3$$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3a^2c+$$ $$+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc $$ $$ (a+b+c)^3$$ $$ \Downarrow $$ $$ a^3+b^3+c^3+3a^2b+$$ $$+3ab^2+3a^2c+3ac^2+$$ $$+3b^2c+3bc^2+6abc $$
Esempio svolto

$$ (2x-y+z)^3 $$ Il risultato sarà $$ (2x)^3+(-y)^3+z^3+3\cdot(2x)^2\cdot(-y)+3\cdot2x\cdot(-y)^2+3\cdot(2x)^2\cdot(z)+ $$ $$ +3\cdot2x\cdot(z)^2+3\cdot(-y)^2\cdot(z)+3\cdot(-y)\cdot(z)^2+6\cdot2x\cdot(-y)\cdot(z)$$ $$ \Downarrow $$ $$ 8x^3-y^3+z^3-12x^2y+6xy^2+12x^2z+6xz^2+3y^2z-3yz^2-12xyz $$ $$ (2x)^3+(-y)^3+z^3+3\cdot(2x)^2\cdot(-y)+$$ $$+3\cdot2x\cdot(-y)^2+3\cdot(2x)^2\cdot(z) +3\cdot2x\cdot(z)^2+$$ $$+3\cdot(-y)^2\cdot(z)+3\cdot(-y)\cdot(z)^2+$$ $$+6\cdot2x\cdot(-y)\cdot(z)$$ $$ \Downarrow $$ $$ 8x^3-y^3+z^3-12x^2y+6xy^2+$$ $$+12x^2z+6xz^2+3y^2z-$$ $$-3yz^2-12xyz $$ $$ (2x)^3+(-y)^3+z^3+$$ $$+3\cdot(2x)^2\cdot(-y)+$$ $$+3\cdot2x\cdot(-y)^2+$$ $$+3\cdot(2x)^2\cdot(z)+$$ $$+ 3\cdot2x\cdot(z)^2+$$ $$+3\cdot(-y)^2\cdot(z)+$$ $$+3\cdot(-y)\cdot(z)^2+$$ $$+6\cdot2x\cdot(-y)\cdot(z)$$ $$ \Downarrow $$ $$ 8x^3-y^3+z^3-$$ $$-12x^2y+6xy^2+$$ $$+12x^2z+6xz^2+3y^2z-$$ $$-3yz^2-12xyz $$
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