Cubo di binomio
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Prerequisito: prodotto tra polinomi
Dal nome, cubo di binomio, si intuisce che eleveremo al cubo un binomio.
Supponiamo di voler calcolare la seguente espressione $$ (a+b)^3 $$ Calcolare il cubo di un qualcosa significa prendere quel qualcosa e moltiplicarla per se stessa tre volte. Per non complicarci la vita conviene scrivere questo cubo nel seguente modo $$ (a+b)^3=(a+b)\cdot(a+b)^2 $$ In questo modo possiamo usare la formula del quadrato di binomio che già conosciamo. Il calcolo diventa $$ (a+b)\cdot(a^2+2ab+b^2) $$ Non ci resta che svolgere il prodotto tra questi due polinomi e sommare infine i monomi simili $$ (a+b)\cdot(a^2+2ab+b^2)=a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$ $$ (a+b)\cdot(a^2+2ab+b^2)$$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3$$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$ $$ (a+b)\cdot(a^2+2ab+b^2)$$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+2a^2b+ab^2+ba^2+2ab^2+b^3$$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$
Cubo di binomio

Il cubo di binomio si calcola facendo il cubo del primo monomio, più tre volte il quadrato del primo per il secondo, più tre volte il primo per il quadrato del secondo più il cubo del secondo monomio $$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$ $$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$ $$ (a+b)^3$$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$
Esempi svolti

  • \( (2x-y)^3 \)
  • Il risultato sarà $$ (2x)^3+3\cdot(2x)^2\cdot(-y)+3\cdot(2x)\cdot(-y)^2+(-y)^3=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3 $$ $$ (2x)^3+3(2x)^2(-y)+3(2x)(-y)^2+(-y)^3$$ $$ \Downarrow $$ $$8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3 $$ $$ (2x)^3+3(2x)^2(-y)+$$ $$+3(2x)(-y)^2+(-y)^3$$ $$ \Downarrow $$ $$8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3 $$
  • \( (a+2b)^3 \)
  • Utilizziamo direttamente la formula $$ (a)^3+3\cdot(a)^2\cdot(2b)+3\cdot(a)\cdot(2b)^2+(2b)^3=a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3 $$ $$ (a)^3+3(a)^2(2b)+3(a)(2b)^2+(2b)^3$$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3 $$ $$ (a)^3+3(a)^2(2b)+$$ $$+3(a)(2b)^2+(2b)^3$$ $$ \Downarrow $$ $$a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3 $$
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