Binomio di Newton
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Prerequisito: Fattoriale e coefficiente binomiale
Il binomio di Newton ci serve per lo sviluppo della potenza n-esima di un qualsiasi binomio. La formula è la seguente $$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k $$ $$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k $$ $$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k $$ Essendo una sommatoria bisogna calcolare i termini uno ad uno per poi sommarli. Il termine \(\binom{n}{k}\) serve per calcolare i coefficienti dei monomi che faranno parte del risultato finale, mentre \(a^{n-k}b^k\) rappresenta il calcolo della parte letterale.
Esempi svolti

  • \( (a+b)^2 \)
  • Adattiamo la formula a questo esempio nel quale \(n\) è pari a 2 $$ (a+b)^2=\sum_{k=0}^{2}\binom{2}{k}a^{2-k}b^k $$ $$ (a+b)^2=\sum_{k=0}^{2}\binom{2}{k}a^{2-k}b^k $$ $$ (a+b)^2=\sum_{k=0}^{2}\binom{2}{k}a^{2-k}b^k $$ \(K\) assumerà ,in questo caso, rispettivamente i valori \(0\),\(1\) e \(2\).
    Per k=0 (basterà sostituire alla formula di sopra il valore \(0\) al posto di \(k\) si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{2}{0}a^{2-0}b^0=a^2 $$
    Per k=1 (basterà sostituire alla formula di sopra il valore \(1\) al posto di \(k\)) si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{2}{1}a^{2-1}b^1=2ab $$
    Per k=2 (basterà sostituire alla formula di sopra il valore \(2\) al posto di \(k\)) si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{2}{2}a^{2-2}b^2=b^2 $$
    Il risultato finale sarà la somma di questi tre termini cioè $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$ Come potete vedere abbiamo ricavato la formula del quadrato di binomio.
  • \( (2x-y)^5 \)
  • Utilizziamo la formula del binomio di Newton $$ (2x-y)^5=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}2x^{5-k}(-y)^k $$ $$ (2x-y)^5=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}2x^{5-k}(-y)^k $$ $$ (2x-y)^5 $$ $$ \Downarrow $$ $$ \sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}2x^{5-k}(-y)^k $$ \(K\) assumerà i valori 0,1,2,3,4 e 5.
    In questo caso, data la complessità dei calcoli, conviene calcolare prima tutti i coefficienti binomiali:
    $$ \binom{5}{0}=1;\hspace{3mm}\binom{5}{1}=5;\hspace{3mm}\binom{5}{2}=10;\hspace{3mm}\binom{5}{3}=10;\hspace{3mm}\binom{5}{4}=5;\hspace{3mm}\binom{5}{5}=1 $$ $$ \binom{5}{0}=1;\hspace{3mm}\binom{5}{1}=5 \\ \binom{5}{2}=10;\hspace{3mm}\binom{5}{3}=10 \\ \hspace{3mm}\binom{5}{4}=5;\hspace{3mm}\binom{5}{5}=1 $$ $$ \binom{5}{0}=1;\hspace{3mm}\binom{5}{1}=5 \\ \binom{5}{2}=10;\hspace{3mm}\binom{5}{3}=10 \\ \binom{5}{4}=5;\hspace{3mm}\binom{5}{5}=1 $$ Per k=0 si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{5}{0}(2x)^{5-0}(-y)^0=32x^5 $$ $$ \binom{5}{0}(2x)^{5-0}(-y)^0=32x^5 $$ $$ \binom{5}{0}(2x)^{5-0}(-y)^0$$ $$ \Downarrow $$ $$32x^5 $$
    Per k=1 si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{5}{1}(2x)^{5-1}(-y)^1=5\cdot(2x)^4\cdot(-y)=5\cdot16x^4\cdot(-y)=-80x^4y $$ $$ \binom{5}{1}(2x)^{5-1}(-y)^1=5\cdot(2x)^4\cdot(-y) $$ $$ \Downarrow $$ $$ 5\cdot16x^4\cdot(-y)=-80x^4y $$ $$ \binom{5}{1}(2x)^{5-1}(-y)^1 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 5\cdot(2x)^4\cdot(-y) $$ $$ \Downarrow $$ $$ 5\cdot16x^4\cdot(-y)$$ $$ \Downarrow $$ $$-80x^4y $$
    Per k=2 si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{5}{2}(2x)^{5-2}(-y)^2=10\cdot(2x)^3\cdot(-y)^2=10\cdot8x^3\cdot(y)^2=80x^3y^2 $$ $$ \binom{5}{2}(2x)^{5-2}(-y)^2=10\cdot(2x)^3\cdot(-y)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 10\cdot8x^3\cdot(y)^2=80x^3y^2 $$ $$ \binom{5}{2}(2x)^{5-2}(-y)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 10\cdot(2x)^3\cdot(-y)^2 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 10\cdot8x^3\cdot(y)^2$$ $$ \Downarrow $$ $$80x^3y^2 $$
    Per k=3 si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{5}{3}(2x)^{5-3}(-y)^3=10\cdot(2x)^2\cdot(-y)^3=10\cdot4x^2\cdot(-y)^3=-40x^2y^3 $$ $$ \binom{5}{3}(2x)^{5-3}(-y)^3=10\cdot(2x)^2\cdot(-y)^3 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 10\cdot4x^2\cdot(-y)^3=-40x^2y^3 $$ $$ \binom{5}{3}(2x)^{5-3}(-y)^3 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 10\cdot(2x)^2\cdot(-y)^3 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 10\cdot4x^2\cdot(-y)^3$$ $$ \Downarrow $$ $$-40x^2y^3 $$
    Per k=4 si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{5}{4}(2x)^{5-4}(-y)^4=5\cdot(2x)\cdot(-y)^4=5\cdot2x\cdot(y)^4=10xy^4 $$ $$ \binom{5}{4}(2x)^{5-4}(-y)^4=5\cdot(2x)\cdot(-y)^4 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 5\cdot2x\cdot(y)^4=10xy^4 $$ $$ \binom{5}{4}(2x)^{5-4}(-y)^4 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 5\cdot(2x)\cdot(-y)^4 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 5\cdot2x\cdot(y)^4$$ $$ \Downarrow $$ $$10xy^4 $$
    Per k=5 si avrà $$ \downarrow $$ $$ \binom{5}{5}(2x)^{5-5}(-y)^5=1\cdot(-y)^5=-y^5 $$ $$ \binom{5}{5}(2x)^{5-5}(-y)^5=1\cdot(-y)^5=-y^5 $$ $$ \binom{5}{5}(2x)^{5-5}(-y)^5 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 1\cdot(-y)^5=-y^5 $$
    Il risultato finale sarà dunque $$ (2x-y)^5=32x^5-80x^4y+80x^3y^2-40x^2y^3+10xy^4-y^5 $$ $$ (2x-y)^5 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 32x^5-80x^4y+80x^3y^2-40x^2y^3+10xy^4-y^5 $$ $$ (2x-y)^5 $$ $$ \Downarrow $$ $$ 32x^5-80x^4y+80x^3y^2-$$ $$ -40x^2y^3+10xy^4-y^5 $$
Trucco mnemonico

La parte letterale della potenza n-esima si può calcolare direttamente senza utilizzare esplicitamente la formula. Notiamo infatti che il coefficiente del primo monomio parte dal grado massimo cioè \(n\) mentre il secondo parte dal grado minimo cioè \(0\), man mano il primo diminuisce di \(1\) e il secondo aumenta di \(1\), per avere una somma di coefficienti sempre pari a \(n\).
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