Prodotto vettoriale: Versori assi cartesiani
E' di fondamentale importanza capire come svolgere il prodotto vettoriale tra \(\widehat{i}\), \(\widehat{j}\) e \(\widehat{k}\).
Se nel prodotto vettoriale entrano in scena due assi il risultato sarà sicuramente un versore che ha la stessa direzione dell’asse che non entra in scena nel prodotto. Ad esempio se facciamo il prodotto vettoriale tra \(\widehat{j}\) e \(\widehat{k}\), il risultato sarà un versore che ha la stessa direzione di \(\widehat{i}\), ovviamente il verso dipende dalla regola della mano destra.
Consideriamo il seguente sistema di assi cartesiani

Possiamo fare il seguente ragionamento. Se la rotazione è in senso antiorario allora il segno del risultato sarà positivo. Quindi se ad esempio vogliamo calcolare \((\widehat{i}\times \widehat{j})\) dalla figura si vede che per spostarci da \(\widehat{i}\) a \(\widehat{j}\) dobbiamo compiere un movimento antiorario, quindi il segno sarà positivo, il risultato infatti sarà \(\widehat{k}\).
Viceversa, se vogliamo calcolare \((\widehat{k}\times \widehat{j})\) allora si vede che per spostarci da \(\widehat{k}\) a \(\widehat{j}\) bisogna compiere un movimento orario, quindi il segno sarà negativo, il risultato infatti sarà \(-\widehat{i}\).
La rotazione per andare da un asse ad un altro deve essere la più breve possibile, ad esempio se vogliamo andare da \(\widehat{i}\) a \(\widehat{k}\) non possiamo passare per \(\widehat{j}\), ma dobbiamo compiere una rotazione oraria.
Info

Nella figura mostrata prima abbiamo quella che si chiama terna levogira, o detta terna destra. Tale sistema utilizza la regola della mano detra, nel senso che fissati gli assi x e y, il verso dell'asse z viene deciso dalla regola della mano destra.
Riassumiamo quindi tutti i prodotti vettoriali tra i vari versori degli assi $$ \widehat{i}\times \widehat{i}=0 \hspace{9mm} \widehat{i}\times \widehat{j}=\widehat{k} \hspace{9mm} \widehat{i}\times \widehat{k}=-\widehat{j} $$ $$ \widehat{i}\times \widehat{i}=0 \hspace{9mm} \widehat{i}\times \widehat{j}=\widehat{k} \hspace{9mm} \widehat{i}\times \widehat{k}=-\widehat{j} $$ $$ \widehat{i}\times \widehat{i}=0 \hspace{6mm} \widehat{i}\times \widehat{j}=\widehat{k} \hspace{6mm} \widehat{i}\times \widehat{k}=-\widehat{j} $$ $$ \widehat{j}\times \widehat{i}=-\widehat{k} \hspace{9mm} \widehat{j}\times \widehat{j}=0 \hspace{9mm} \widehat{j}\times \widehat{k}=\widehat{i} $$ $$ \widehat{j}\times \widehat{i}=-\widehat{k} \hspace{9mm} \widehat{j}\times \widehat{j}=0 \hspace{9mm} \widehat{j}\times \widehat{k}=\widehat{i} $$ $$ \widehat{j}\times \widehat{i}=-\widehat{k} \hspace{6mm} \widehat{j}\times \widehat{j}=0 \hspace{6mm} \widehat{j}\times \widehat{k}=\widehat{i} $$ $$ \widehat{k}\times \widehat{i}=\widehat{j} \hspace{9mm} \widehat{k}\times \widehat{j}=-\widehat{i} \hspace{9mm} \widehat{k}\times \widehat{k}=0 $$ $$ \widehat{k}\times \widehat{i}=\widehat{j} \hspace{9mm} \widehat{k}\times \widehat{j}=-\widehat{i} \hspace{9mm} \widehat{k}\times \widehat{k}=0 $$ $$ \widehat{k}\times \widehat{i}=\widehat{j} \hspace{6mm} \widehat{k}\times \widehat{j}=-\widehat{i} \hspace{6mm} \widehat{k}\times \widehat{k}=0 $$
BACK \(\hspace{1mm}\) HOME \(\hspace{1mm}\) NEXT