Prodotto vettoriale: Proprietà
Il prodotto vettoriale gode di alcune proprietà: La proprietà anticommutativa può essere verificata usando la regola della mano destra, infatti se si inverte l’ordine dei vettori il verso è opposto.
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State bene attenti perchè la proprietà anticommutativa può portare a degli errori. Quando si ha a che fare con prodotti vettoriali tra più vettori, bisogna rispettare l'ordine dei vettori, infatti non vale la proprietà associativa, cioè $$ (\vec{V_1}\times \vec{V_2})\times \vec{V_3}\neq \vec{V_1}\times (\vec{V_2}\times\vec{V_3}) $$ $$ (\vec{V_1}\times \vec{V_2})\times \vec{V_3}\neq \vec{V_1}\times (\vec{V_2}\times\vec{V_3}) $$ $$ (\vec{V_1}\times \vec{V_2})\times \vec{V_3}\neq \vec{V_1}\times (\vec{V_2}\times\vec{V_3}) $$
Se notate anche nella proprietà distributiva abbiamo rispettato l'ordine dei vettori. Il prodotto vettoriale serve per verificare se due vettori sono paralleli o antiparalleli, infatti se \(\vec{V_1}\) è parallelo a \(\vec{V_2}\) l’angolo \(\theta\) è di \(0^{\circ}\) per cui si ha $$ \vec{V_1}\times \vec{V_2}=V_1\cdot V_2 \cdot sin0^{\circ} $$ Ma il \(sin0^{\circ}\) è zero, dunque $$ \vec{V_1}\times \vec{V_2}=0 $$ Se \(\vec{V_1}\) è antiparallelo a \(\vec{V_2}\) l’angolo \(\theta\) è di \(180^{\circ}\) per cui si ha $$ \vec{V_1}\times \vec{V_2}=V_1\cdot V_2 \cdot sin180^{\circ} $$ Ma il \(sin180^{\circ}\) è zero, dunque $$ \vec{V_1}\times \vec{V_2}=0 $$ Possiamo concludere che se due vettori sono paralleli o antiparalleli allora il loro prodotto vettoriale è 0, vale anche il viceversa, cioè se il loro prodotto vettoriale è 0 allora sono paralleli o antiparalleli.
Consideriamo un vettore \(\vec{V}\). Proviamo a calcolare il prodotto vettoriale con se stesso $$ \vec{V}\times \vec{V}=|\vec{V}||\vec{V}|sin\theta $$ L'angolo che un qualsiasi vettore forma con se stesso è sempre 0, dunque $$ \vec{V}\times \vec{V}=|\vec{V}||\vec{V}|sin0^{\circ}=0 $$
Info

Il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso è sempre nullo.
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