Prodotto vettoriale: Dimostrazione formula
Vogliamo dimostrare che il modulo del prodotto vettoriale coincida effettivamente con la formula citata a inizio capitolo.
Consideriamo due vettori \(\vec{V}\) e \(\vec{U}\) che partono dalla stessa origine di un sistema di assi cartesiani

Dal disegno si vede chiaramente che \(\theta\) è l'angolo tra i due vettori ed è pari a $$ \theta=\alpha-\beta $$ I vettori \(\vec{V}\) e \(\vec{U}\) li possiamo scrivere usando le componenti cartesiane $$ \vec{V}=V_x \widehat{i}+V_y\widehat{j} $$ $$ \vec{U}=U_x \widehat{i}+U_y\widehat{j} $$ Dalla trigonometria le componenti x ed y sono legate agli angoli che i vettori formano con gli assi, in particolare valgono le seguenti relazioni $$ V_x=|\vec{V}|cos\alpha $$ $$ V_y=|\vec{V}|sin\alpha $$ $$ U_x=|\vec{U}|cos\beta $$ $$ U_y=|\vec{U}|sin\beta $$ Sostituendo tali valori abbiamo $$ \vec{V}=Vcos\alpha \widehat{i}+Vsin\alpha \widehat{j} $$ $$ \vec{U}=Ucos\beta \widehat{i}+Usin\beta \widehat{j} $$ Eseguiamo il prodotto vettoriale rispettando l'ordine dei versori $$ \vec{V} \times \vec{U}=(Vcos\alpha \widehat{i}+Vsin\alpha \widehat{j})\times (Ucos\beta \widehat{i}+Usin\beta \widehat{j}) $$ $$ \vec{V} \times \vec{U}=(Vcos\alpha \widehat{i}+Vsin\alpha \widehat{j})\times (Ucos\beta \widehat{i}+Usin\beta \widehat{j}) $$ $$ \vec{V} \times \vec{U}=(Vcos\alpha \widehat{i}+Vsin\alpha \widehat{j})\times $$ $$\times (Ucos\beta \widehat{i}+Usin\beta \widehat{j}) $$ Svolgendo i calcoli $$ V\cdot U cos\alpha cos\beta(\widehat{i}\times\widehat{i})+V\cdot U cos\alpha sin\beta(\widehat{i}\times\widehat{j})+V\cdot U sin\alpha cos\beta(\widehat{j}\times\widehat{i})+V\cdot U sin\alpha sin\beta(\widehat{j}\times\widehat{j}) $$ $$ V\cdot U cos\alpha cos\beta(\widehat{i}\times\widehat{i})+V\cdot U cos\alpha sin\beta(\widehat{i}\times\widehat{j})+$$ $$+V\cdot U sin\alpha cos\beta(\widehat{j}\times\widehat{i})+V\cdot U sin\alpha sin\beta(\widehat{j}\times\widehat{j}) $$ $$ V\cdot U cos\alpha cos\beta(\widehat{i}\times\widehat{i})+V\cdot U cos\alpha sin\beta(\widehat{i}\times\widehat{j})+$$ $$+V\cdot U sin\alpha cos\beta(\widehat{j}\times\widehat{i})+V\cdot U sin\alpha sin\beta(\widehat{j}\times\widehat{j}) $$ Il primo e quarto termine sono nulli in quanto \((\widehat{i}\times\widehat{i})\) e \((\widehat{j}\times\widehat{j})\) sono zero, dunque $$ V\cdot U cos\alpha sin\beta\widehat{k}+V\cdot U sin\alpha cos\beta(-\widehat{k}) $$ $$ V\cdot U cos\alpha sin\beta\widehat{k}+V\cdot U sin\alpha cos\beta(-\widehat{k}) $$ $$ V\cdot U cos\alpha sin\beta\widehat{k}+V\cdot U sin\alpha cos\beta(-\widehat{k}) $$ Mettendo in evidenza \(\widehat{k}\) otteniamo $$ \vec{V} \times \vec{U}=V\cdot U(cos\alpha sin\beta-sin\alpha cos\beta)(\widehat{k}) $$ $$ \vec{V} \times \vec{U}=V\cdot U(cos\alpha sin\beta-sin\alpha cos\beta)(\widehat{k}) $$ $$ \vec{V} \times \vec{U}=V\cdot U(cos\alpha sin\beta-sin\alpha cos\beta)(\widehat{k}) $$ Dalla formula di sottrazione del seno abbiamo che $$ sin(\beta-\alpha)=cos\alpha sin\beta-sin\alpha cos\beta $$ $$ sin(\beta-\alpha)=cos\alpha sin\beta-sin\alpha cos\beta $$ $$ sin(\beta-\alpha)=cos\alpha sin\beta-sin\alpha cos\beta $$ Ma \((\beta-\alpha)=-\theta\) dunque otteniamo \(sin(-\theta)\), ed essendo il seno una funzione dispari è equivalente a \(-sin(\theta)\). In definitiva $$ \vec{V} \times \vec{U}=V\cdot U sin\theta(-\widehat{k}) $$ Il segno meno è dovuto al fatto che ,utilizzando la regola della mano destra, otteniamo un verso entrante (per i vettori utilizzati nella figura sopra).
Se prendiamo il modulo di questa espressione, otteniamo la formula citata a inizio capitolo $$ |\vec{V}\times \vec{U}|=V\cdot U sin\theta \hspace{5mm} \square $$
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