Prodotto scalare: Dimostrazione formula
Consideriamo due vettori \(\vec{V}\) e \(\vec{U}\) che partono dalla stessa origine di un sistema di assi cartesiani

Dal disegno si vede chiaramente che \(\theta\) è l'angolo tra i due vettori ed è pari a $$ \theta=\alpha-\beta $$ I vettori \(\vec{V}\) e \(\vec{U}\) li possiamo scrivere usando le componenti cartesiane $$ \vec{V}=V_x \widehat{i}+V_y\widehat{j} $$ $$ \vec{U}=U_x \widehat{i}+U_y\widehat{j} $$ Dalla trigonometria le componenti x ed y sono legate agli angoli che i vettori formano con gli assi, in particolare valgono le seguenti relazioni $$ V_x=|\vec{V}|cos\alpha $$ $$ V_y=|\vec{V}|sin\alpha $$ $$ U_x=|\vec{U}|cos\beta $$ $$ U_y=|\vec{U}|sin\beta $$ Sostituendo tali valori abbiamo $$ \vec{V}=Vcos\alpha \widehat{i}+Vsin\alpha \widehat{j} $$ $$ \vec{U}=Ucos\beta \widehat{i}+Usin\beta \widehat{j} $$ Visto che i versori sono ortonormali il loro prodotto scalare è $$ \vec{V}\cdot \vec{U}=V_xU_x+V_yU_y $$ $$ \vec{V}\cdot \vec{U}=Vcos\alpha Ucos\beta +Vsin\alpha Usin\beta $$ $$ \vec{V}\cdot \vec{U}=Vcos\alpha Ucos\beta +Vsin\alpha Usin\beta $$ $$ \vec{V}\cdot \vec{U}=Vcos\alpha Ucos\beta +Vsin\alpha Usin\beta $$ Mettiamo in evidenza \(V\cdot U\) $$ \vec{V}\cdot \vec{U}=V\cdot U(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) $$ $$ \vec{V}\cdot \vec{U}=V\cdot U(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) $$ $$ \vec{V}\cdot \vec{U}=V\cdot U(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) $$ Dalla formula di sottrazione del coseno abbiamo che $$ cos(\alpha - \beta)=cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta $$ $$ cos(\alpha - \beta)=cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta $$ $$ cos(\alpha - \beta)=cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta $$ Ma \((\alpha - \beta)=\theta\) dunque otteniamo che $$ \vec{V}\cdot \vec{U}=V\cdot Ucos\theta \hspace{5mm} \square $$
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