Prodotto vettoriale: Componenti cartesiane
Consideriamo due vettori espressi in componenti cartesiane $$ \vec{v_1}=v_{1x} \widehat{i}+v_{1y}\widehat{j}+v_{1z} \widehat{k} $$ $$ \vec{v_2}=v_{2x} \widehat{i}+v_{2y}\widehat{j}+v_{2z} \widehat{k} $$ Possiamo scrivere che $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2}=(v_{1x} \widehat{i}+v_{1y}\widehat{j}+v_{1z} \widehat{k})\times(v_{2x} \widehat{i}+v_{2y}\widehat{j}+v_{2z} \widehat{k}) $$ $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2} $$ $$ \Downarrow $$ $$ (v_{1x} \widehat{i}+v_{1y}\widehat{j}+v_{1z} \widehat{k})\times(v_{2x} \widehat{i}+v_{2y}\widehat{j}+v_{2z} \widehat{k}) $$ $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2}=(v_{1x} \widehat{i}+v_{1y}\widehat{j}+v_{1z} \widehat{k})\times$$ $$\times(v_{2x} \widehat{i}+v_{2y}\widehat{j}+v_{2z} \widehat{k}) $$ Questo prodotto lo si svolge usando le regole di un prodotto classico che si incontra nell’algebra, si moltiplica ogni termine del primo vettore per tutti i termini del secondo vettore, poi si esegue la somma di tutti i vari prodotti, prestando attenzione all'ordine dei fattori.
Ricordiamo che il prodotto vettoriale è una operazione che si svolge tra vettori, quindi separerò direttamente i numeri dai vettori $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\times \widehat{i})+(v_{1x}v_{2y})(\widehat{i}\times \widehat{j})+(v_{1x}v_{2z})(\widehat{i}\times \widehat{k})+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\times \widehat{i})+(v_{1y}v_{2y})(\widehat{j}\times \widehat{j})+ $$ $$+ v_{1y}v_{2z})(\widehat{j}\times \widehat{k})+(v_{1z}v_{2x})(\widehat{k}\times \widehat{i})+(v_{1z}v_{2y})(\widehat{k}\times \widehat{j})+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\times \widehat{k}) $$ $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\times \widehat{i})+(v_{1x}v_{2y})(\widehat{i}\times \widehat{j})+$$ $$+(v_{1x}v_{2z})(\widehat{i}\times \widehat{k})+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\times \widehat{i})+$$ $$+(v_{1y}v_{2y})(\widehat{j}\times \widehat{j}) + v_{1y}v_{2z})(\widehat{j}\times \widehat{k})+$$ $$+(v_{1z}v_{2x})(\widehat{k}\times \widehat{i})+(v_{1z}v_{2y})(\widehat{k}\times \widehat{j})+$$ $$+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\times \widehat{k}) $$ $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2x})(\widehat{i}\times \widehat{i})+$$ $$+(v_{1x}v_{2y})(\widehat{i}\times \widehat{j})+(v_{1x}v_{2z})(\widehat{i}\times \widehat{k})+$$ $$+(v_{1y}v_{2x})(\widehat{j}\times \widehat{i})+(v_{1y}v_{2y})(\widehat{j}\times \widehat{j})+ $$ $$+ v_{1y}v_{2z})(\widehat{j}\times \widehat{k})+(v_{1z}v_{2x})(\widehat{k}\times \widehat{i})+$$ $$+(v_{1z}v_{2y})(\widehat{k}\times \widehat{j})+(v_{1z}v_{2z})(\widehat{k}\times \widehat{k}) $$ Sostituiamo i valori trovati in precedenza dei vari prodotti vettoriali $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2y})(\widehat{k})+(v_{1x}v_{2z})(- \widehat{j})+(v_{1y}v_{2x})(-\widehat{k})+(v_{1y}v_{2z})(\widehat{i})+(v_{1z}v_{2x})(\widehat{j})+(v_{1z}v_{2y})(-\widehat{i}) $$ $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2}$$ $$ \Downarrow $$ $$(v_{1x}v_{2y})(\widehat{k})+(v_{1x}v_{2z})(- \widehat{j})+(v_{1y}v_{2x})(-\widehat{k})+$$ $$+(v_{1y}v_{2z})(\widehat{i})+ (v_{1z}v_{2x})(\widehat{j})+(v_{1z}v_{2y})(-\widehat{i}) $$ $$ \vec{v_1}\times \vec{v_2}=(v_{1x}v_{2y})(\widehat{k})+(v_{1x}v_{2z})(- \widehat{j})+$$ $$+(v_{1y}v_{2x})(-\widehat{k})+(v_{1y}v_{2z})(\widehat{i})+$$ $$+(v_{1z}v_{2x})(\widehat{j})+(v_{1z}v_{2y})(-\widehat{i}) $$ Per essere più simpatici raccogliamo a fattor comune tutti i termini con \(\widehat{i}\),\(\widehat{i}\) e \(\widehat{k}\). La formula finale diventa $$ (v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y})\widehat{i}+(v_{1z}v_{2x}-v_{1x}v_{2z}) \widehat{j}+(v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x})\widehat{k} $$ $$ (v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y})\widehat{i}+(v_{1z}v_{2x}-v_{1x}v_{2z}) \widehat{j}+$$ $$+(v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x})\widehat{k} $$ $$ (v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y})\widehat{i}+(v_{1z}v_{2x}-v_{1x}v_{2z}) \widehat{j}+$$ $$+(v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x})\widehat{k} $$
Trucco mnemonico

Esiste un metodo per ricordare questa formula. Analizziamo il fattore \((v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y})\widehat{i}\).
Rappresenta la componente x del vettore prodotto vettoriale. Tra i pedici di \((v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y})\) non compare la x, ma in ordine compaiono la y e la z, precedute rispettivamente da 1 e da 2. Il secondo pezzo cioè \(-v_{1z}v_{2y}\) è semplicemente il primo pezzo con le lettere dei pedici invertiti. Prima avevamo 1y/2z poi 1z/2y.
Funziona allo stesso modo anche per le componenti y e le componenti z. Basta osservare un attimo la formula per capire il metodo mnemonico.
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