Velocità istantanea
Abbiamo visto che la velocità media è una grandezza non appropriata per avere una visione dettagliata della velocità assunta da un corpo durante il suo percorso. Se però riduciamo l'intervallo temporale \(\Delta t\) sempre di più, ad un certo punto si parlerà di velocità istantanea

Quando \(\Delta t\) tende a zero i due istanti temporali tendono a concidere e il punto \(P'\) tende ad avvicinarsi al punto \(P\). Riusciamo dunque, con una operazione di limite, a prendere una velocità in un certo istante $$ v=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} $$ $$ v=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{ds}{dt} $$ $$ v=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{ds}{dt} $$ $$ v=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\frac{ds}{dt} $$ Abbiamo scoperto che la velocità è la derivata temporale della legge oraria s. Il problema è che questa velocità rimane una quantità scalare. Questa volta al posto di \(\Delta s\) possiamo mettere \(\Delta \vec{r}\) perchè l'errore che si commette è trascurabile, in quanto per \(\Delta t\) che tende a zero, il punto \(P'\) si avvicina molto a \(P\) dunque lo spazio effettivamente percorso \(\Delta s\) tende a coincidere con lo spazio percorso in linea retta \(\Delta r\)

Possiamo definire il vettore velocità sostituendo \(\Delta s\) con \(\Delta \vec{r}\) $$ \vec{v}=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $$ $$ \vec{v}=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt} $$ $$ \vec{v}=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt} $$ $$ \vec{v}=\lim_{\Delta t \mapsto 0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t} $$ $$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt} $$ In questo caso il vettore velocità risulta essere la derivata temporale del vettore posizione.
Dalla velocità scalare alla velocità vettoriale
L'approccio con il vettore posizione \(\vec{r}\) è più ricco rispetto a quello della traiettoria perchè contiene informazioni sulla direzione e sul verso della velocità. In particolare quando il punto \(P'\) si avvicina a \(P\) la corda di \(\Delta \vec{r}\) diventa una tangente nel punto \(P\), proprio quello che succede quando abbiamo una derivata.
La velocità dunque sarà tangente alla traiettoria in quel punto

Per vettorizzare la velocità scalare bisogna utilizzare un versore \(\widehat{e_t}\) che ha direzione e verso della tangente alla curva

Ci ricordiamo adesso che un qualsiasi vettore può essere scritto come il suo modulo per il suo versore, dunque $$ \vec{v}=v\widehat{e}_t=\frac{ds}{dt}\widehat{e}_t=\frac{d\vec{r}}{dt} $$ Siamo passati, utilizzando il versore, dalla velocità scalare a quella vettoriale. Il mondo della traiettoria va a coincidere con quello dei moti componenti.
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